Kurzbeschreibung

Im Winter 2010/11 habe ich, aufbauend auf jahrelangen Vorarbeiten, einen Generator entwickelt, der ganzheitliche mehrdimensionale Wellen erzeugt. Mehrere solcher Generatoren sind zu einer Art Orgel kombiniert, wobei die Basis jeweils die Varianten eines Magischen Quadrates sind, aus denen sowohl der Klang selbst, als auch die zeitliche Abfolge abgeleitet sind.
Der Klangtypus ist in den meisten Fällen stringent, aber schräg. Seltsamerweise bilden die Varianten in 5 und in 10 Dimensionen eine Ausnahme: Ihr Duktus ist 'human', möchte ich sagen. Stellenweise erinnern die Entwicklungen an bekannte Akkordfolgen, obwohl keinerlei Tonsystem vorgegeben ist und das analytische Hören jede Menge Mikrointervalle entdecken kann.

Auf dieser Grundlage habe ich bislang zwei Stücke konzipiert: das eine in gleichmässigen orgelartigen Akkordfolgen; das ander unregelmässig, dennoch ruhig, an Klangschalen erinnernd.
Ein vollständiger Zyklus davon (ohne Wiederholungen) würde 120 bzw. 200 Tage dauern. Kleinere Zyklen davon sind leicht herauslösbar, im Zeitrahmen von einer Woche oder einer Stunde.
Von der Darbietung her ist das meditative, ich sage lieber 'kontemplative' Musik.

Threnody (Klagelied) verweist auf eine archaische Form. (Mit 'beklagen', 'jammern' oder 'hadern' hat das nichts zu tun). Meine Arbeit an den ersten Skizzen davon fiel in die Zeit von Fukushima und den Beginn der nordafrikanischen Unruhen. Dennoch hat dieses Klagelied nicht unmittelbar damit zu tun - zumindest nicht vorsätzlich.

Vorgeschichte

Anfang der Achzigerjahre habe ich begonnen, mich mit Bewegung, namentlich Rotation, im mehrdimensionalen Gefüge zu beschäftigen und die mathematischen Grundlagen dafür zu entwickeln. (Man sollte meinen, dass das alles schon erforscht ist. Theoretisch ja - die praktische Anwendung davon ist aber ein eigenes Kapitel).
In der Folge sind drei konzeptuelle Etuden entstanden: GEOMETRISCHE ETUDE (eine Art multidimensionale Spieluhr), THE EYE (ein Facettenauge in Raum und Zeit als Grundlage für fotografische Darstellung eines Areals), STOXH (ein Automat, der beliebige Aussenaufnahmen verarbeitet und in Raum und Zeit neu ordnet).
Das alles ist Vorarbeit für das vorliegende Projekt.

Magisches Quadrat und Rotationsmatrix

Was ein 'magisches Quadrat' ist, darf ich als bekannt voraussetzen. Die Zahlen von 1 bis n2 sind in einem Quadrat n*n so angeordnet, dass die Summen aller Zeilen und die Summen aller Spalten gleich sind, dazu noch die Summen der Diagonalen. Die Bildungsgesetze solcher Zahlenanordnungen habe ich bei Gelegenheit selber herausgefunden. (Heute findet man sie auf diversen Internetseiten, damals gab es soetwas nicht und die alten Bücher enthielten vielfach gemogelte Lösungen - vor allem für die höheren Quadrate ab 6*6).
Natürlich wurden den Magischen Quadraten, wie die Bezeichnung schon sagt, gerne magische Eigenschaften zugeschrieben, sie dienten für Beschwörungen und für Amulette, oder einfach für die Knobelecke. Was mich hingegen von Anfang an fasziniert hat, ist eine kleine Ähnlichkeit des magischen Quadrates mit den Eigenschaften einer Rotationsmatrix, sodass man fast spekulieren möchte, das MQ sei eine degenerierte, mystifizierte Form einer Rotationsmatrix, wie sie älteren Kulturen bekannt gewesen sein könnte.
In einer Rotationsmatrix beliebiger Ordnung muss unter anderem die Summe der Quadrate aller Zeilenelemente und aller Spaltenelemente gleich 1 sein. Darüberhinaus muss noch das Vektorprodukt jeder Zeile mit jeder anderen Zeile sowie jeder Spalte mit jeder anderen Spalte 0 sein.

Mehrdimensionale Phasoren

Längere Zeit hatte ich mich damit nicht beschäftigt. Im Winter 2010/11 musste ich meine musikalischen Arbeiten unterbrechen, weil sich Verhandlungen über eine Aufführung in die Länge zogen. Ich nutzte die Zeit, um mich wiedereinmal dem Thema zuzuwenden und kam zu erstaunlichen Ergebnissen.
Mittels Orthonormierung lässt sich ein Magisches Quadrat jeder beliebigen Dimension leicht in eine entsprechende Rotationsmatrix umformen. Das ist dann ein Operator mit dem man einen Vektor, oder einen Körper (eine Gruppe von Vektoren) im Raum drehen kann, ein 'phasor'. Unterteilt man so eine Drehung in viele kleine Schritte (eine Wurzel der Matrix, die man über deren Eigensystem finden kann), dann kann man die Bewegung eines jeden Punktes als mehrdimensionale räumliche Bahn oder Wellenform verfolgen.
Im trivialen Fall von 2 Dimensionen ist das immer eine Kreisbewegung um den Mittelpunkt.
Bei 3 Dimensionen sind es ebenfalls Kreise um eine irgendwie im Raum liegende Rotationsachse.
Ab 4 Dimensionen sind es mehr oder weniger komplizierte Wellenformen im Raum. Dreht man einen Einheitsvektor auf diese Weise, dann beschreibt er eine Bahn auf der 'Oberfläche' (ein gekrümmter Teilraum) einer Hypersphäre deren Abstand vom Mittelpunkt immer gleich 1 ist.
Hier ein paar grafische Beispiele der Projektion solcher Bahnen auf jeweils zwei Dimensionen

Ist die Drehung schnell genug, dann lässt sich die auf eine Dimension projizierte Bwegung über einen Lautsprecher als Schallwelle ausgeben und anhören - bzw. über soviele Lautsprecher, als die Bewegung Dimensionen hat.
Dabei zeigt sich, dass es jeweils nur einige wenige Sinustöne sind, die dabei mit unterschiedlicher Präsenz in den verschiedenen Dimensionen bizarre Gemische bilden. Genaugenommen sind es immer n/2 Teiltöne, bzw. (n-1)/2 bei den ungeraden Matrizen.

Der Generator

Auf den ersten Blick scheint es absurd, für eine Handvoll Sinustöne so einen rechnerischen Aufwand zu betreiben. Immerhin benötigt man pro Sekunde zig-Millionen, gelegentlich sogar complexe Rechenoperationen dafür.
Das eigentlich Faszinierende sind aber die Akkorde, die dabei entstehen. Es ist kein wie immer geartetes Tonsystem vorgegeben, die Töne fügen sich in keine bekannte Ordnung. Dennoch kann man sie verstehen, kann ihre seltsame Stringenz nachvollziehen.
Der Aufbau so eines Generators ist, wie oben beschrieben: Aus dem Schema eines Magischen Quadrates wird eine Rotationsmatrix abgeleitet. Ein multidimensionaler Phasor, der einzig und allein für die stetige Entwicklung der Wellenformen verantwortlich ist. Ausser der Stammform eines MQ's gibt es aber noch Varianten von Zahlenanordnungen, die ebenfalls den Bedingungen eines MQ's genügen. Eine geschlossene Gruppe davon lässt sich auf n! (Fakultät) zusammenfassen. Das sind 24 bei 4 Dimensionen, 120 bei 5, ca. 3.5 Millionen bei 10 Dimensionen. Diese Varianten sind durch systematische Permutation erfassbar und somit für den Generator verfügbar. Jede Variante steht für eine eingenständige, ganzheitliche, mehrdimensionale Wellenbewegung; bildet einen eigentümlichen Akkord.

Die Orgel

Aus mehreren solchen Generatoren, von denen jeder für sich bereits einen als Akkord wahrnehmbaren Klang produziert, habe ich eine Art Orgel zusammengesetzt. Durchaus in Anlehnung an den Aufbau einer gewöhnlichen elektronischen Orgel. Ein Generator ist mehr für den Dauerklang verantwortlich, einer für den Anschlag, einer für den Ausklang, für Vibrato oder Modulation. Sie können gleich eingestellt sein, oder bloss vom selben Stamm sein, oder auch in unterschiedlichen Dimensionen. In jedem Fall sind das mehrdimensionale Modulationen und Automodulationen. Es besteht auch die Möglichkeit, in den Kern einer Matrix selber (Eigensystem) einzugreifen, diesen zu verändern oder zu modulieren.

Das Klagelied

Viele Wochen habe ich damit zugebracht, den Charakter der verschiedenen Varianten in unterschiedlicher Dimension kennenzulerenen. Die einfacheren bis zu 18 Dimensionen, darüberhinaus einige Stichproben bis hin zu Grössenordnungen von 100 Dimensionen und darüber. Vieles klingt bekannt, manches dagegen wie 'Musik von einem anderen Stern'. Besonders herausragend sind Generatoren mit 5 und 10 Dimensionen. Ihre Akkordfolgen klingen sehr vertraut, erinnern an Bach, manchmal auch an Schubert oder Satie - wenn man sich dem Klang hingibt. Und das, obwohl - wie schon eingangs erwähnt - kein Tonsystem bedient wird und das analytische Hören Mikrointervalle und unorthodoxe Tonkombinationen heraushören kann.
'Stimmig' - ein besseres Wort fällt mir dazu nicht ein. Auf mich wirkt es ganz so, als hätten die alten Meister diese Tonfolgen gekannt, innerlich gehört und mit ihren Mitteln dargestellt, so wie auch ich sie erkenne und mit meinen Mitteln herausholen kann.
Ich konzentrierte mich somit auf die Matrix 10*10.
Wie aber geht man mit so einem Material um ?
Nach einigen virtuosen Versuchen war es für mich klar, dass man diesen Klängen ihren eigenen Lauf lassen muss. In der Matrix liegt eine Fülle von zusätzlichen Daten verborgen, die sich für die Gestaltung des zeitlichen Verlaufes nutzen lassen. Letztlich kam ich zu einer langsamen, ruhigen Entwicklung von Akkordfolgen durch eine fortwährende Vertauschung von jeweils nur zwei Zeilen und zwei Spalten in dem zugrundeliegenden MQ. Und damit ergab sich auch die Grössenordnung: Ein vollständiger Zyklus, ohne Wiederholung, dauert auf diese Weise 100 bis 200 Tage! - eine 'Kurzfassung', ein kleinerer geschlossener Zyklus, 1 bis 2 Wochen.
Selbstverständlich kann eine so grosse Form weder dramtisch noch episch sein. Eine Elgie bestenfalls, ein 'Klagelied' - ohne besonderen Anlass. Der ruhige, gleichmässige, fast versöhnliche Duktus der Akkordfolgen trägt noch das seine dazu bei.

Installation

Zur Zeit habe ich zwei Varianten davon vom Datenmaterial her fertig. (Hörbare Stichproben daraus können jederzeit präsentiert werden). Die eine besteht aus den besagten ruhigen Akkordfolgen; die andere aus unregelmässigen Ausklängen mit dem Charakter von Klangschalen. (Auch dabei wieder keine zwei gleichen Klänge). Eine dritte und vierte Variante ist in Arbeit. Bis Herbst 2012 könnten vier bis fünf charakterlich sehr unterschiedliche Variationen fertig sein: eine grosse, begehbare Klanginstallation für mehrere getrennte Räume, durchgehend über ein bis zwei Wochen.
G.R.